为什么组分数据（compositional data）会让标准统计失效？

总和被固定后，变量会凭空产生负相关。

长答案

组分数据（compositional data）只观察相对比例： $$ x_i=\frac{a_i}{\sum_{k=1}^D a_k},\qquad \sum_{i=1}^D x_i=1 $$ 真实绝对丰度 \(a_i\) 经过 closure operation 后落在 simplex 上。问题是：标准相关和差异分析默认变量在欧氏空间自由变化，但组分数据的总和约束让一个分量增加必然压低其他分量。

最小例子：真实绝对丰度 \(A=100,B=100,C=100\)。若只让 \(A\) 翻倍，变成 \(A=200,B=100,C=100\)，相对丰度从： $$ (1/3,1/3,1/3) $$ 变成： $$ (1/2,1/4,1/4) $$ 标准分析会说 \(B,C\) 都下降了，但它们的绝对丰度没有变。

Aitchison 的解法是用 log-ratio，因为组分中可解释的信息是比例之间的比值。CLR（centered log-ratio）： $$ \text{clr}(x_i)=\log\frac{x_i}{g(x)},\qquad g(x)=\left(\prod_{k=1}^D x_k\right)^{1/D} $$ 推导动机是尺度不变性：若绝对丰度整体乘以 \(c\)，\(a_i'=ca_i\)，则 \(x_i'=x_i\)，可识别信息只能来自 \(a_i/a_j\)。log-ratio： $$ \log\frac{a_i}{a_j}=\log\frac{x_i}{x_j} $$ 不受 closure 影响。

为什么这么设计

微生物组、代谢物相对峰面积、single-cell cell-type fraction 都有 compositional 结构。log-ratio 方法不是数学洁癖，而是避免把“别的东西变了”误判成“这个东西变了”。

为什么不直接 rarefy 或总量归一化？rarefy 丢信息，总量归一化没有解除总和约束；它们不能恢复绝对丰度。

⚠️ 容易混淆 / 常见误解

误解 1：相对丰度下降说明绝对丰度下降。
为什么是错的：其他组分上升也会让它相对下降。

误解 2：CLR 后就万事大吉。
为什么是错的：零值仍需处理；不同 pseudocount 会影响低丰度特征。

误解 3：组分问题只存在于微生物组。
为什么是错的：任何 fixed-sum 或 depth-normalized feature 都可能有这个问题。

横向连接

• [[14-microbiome/compositional-transforms]]
• [[14-microbiome/differential-abundance-tools]]
• [[03-bulk-RNAseq/composition-bias-example]]
• [[04-scRNAseq/pseudoreplication-pseudobulk]]
• [[13-metabolomics/metabolomics-missing-value]]

我现在的理解状态

#待 Peter 确认

参考

• Aitchison (1982), Journal of the Royal Statistical Society B
• Aitchison (1986), The Statistical Analysis of Compositional Data
• Gloor et al. (2017), Frontiers in Microbiology
• Quinn et al. (2018), GigaScience