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UMAP 与 t-SNE 各自保留什么、扭曲什么？

它们保局部邻域，不保全局距离和簇大小。

长答案

t-SNE（t-distributed stochastic neighbor embedding）先在高维空间把点 \(j\) 作为点 \(i\) 邻居的概率写成： $$ p_{j|i}=\frac{\exp(-|x_i-x_j|^2/2\sigma_i^2)}{\sum_{k\ne i}\exp(-|x_i-x_k|^2/2\sigma_i^2)} $$ 再对称化为 \(p_{ij}\)。低维空间用重尾 t 分布： $$ q_{ij}=\frac{(1+|y_i-y_j|^2)^{-1}}{\sum_{k\ne l}(1+|y_k-y_l|^2)^{-1}} $$ 优化目标是： $$ KL(P|Q)=\sum_{i\ne j}p_{ij}\log\frac{p_{ij}}{q_{ij}} $$ 因为是 \(KL(P\|Q)\)，高维里近的点若低维放远会被重罚；高维里远的点低维放近惩罚较弱。所以 t-SNE 强保局部邻域，弱保全局距离。

UMAP（Uniform Manifold Approximation and Projection）先构建 fuzzy kNN graph。高维边权近似： $$ w_{ij}=\exp\left(-\frac{\max(0,d(x_i,x_j)-\rho_i)}{\sigma_i}\right) $$ 低维边权用一条可调曲线： $$ \hat w_{ij}=\frac{1}{1+a|y_i-y_j|^{2b}} $$ 优化 fuzzy set cross-entropy： $$ \sum_{ij} w_{ij}\log\frac{w_{ij}}{\hat w_{ij}}+(1-w_{ij})\log\frac{1-w_{ij}}{1-\hat w_{ij}} $$

UMAP 的图结构让它通常比 t-SNE 更保留一些粗略拓扑，但仍不保证真实全局距离。

为什么这么设计

高维组学数据里欧氏距离本身会退化，直接保全局距离很难。t-SNE 和 UMAP 都选择保“谁是谁的邻居”，牺牲簇间距离、簇面积和轴的解释性。这样做适合可视化细胞状态连续谱，但不适合作为统计检验。

为什么不用 PCA？PCA 是线性投影，能保最大方差方向，但非线性流形上的局部结构可能被压扁。UMAP/t-SNE 用局部邻域图换取更清晰的可视化。

⚠️ 容易混淆 / 常见误解

误解 1：UMAP 上两个簇距离远，生物差异就更大。
为什么是错的：低维距离受参数、初始化和图优化影响，不是可解释尺度。

误解 2：簇面积代表细胞数量或多样性。
为什么是错的：布局会拉伸或压缩局部密度，面积没有直接统计意义。

误解 3：UMAP 可以替代聚类。
为什么是错的：UMAP 是 visualization，聚类应在原始空间或 PCA/邻接图上定义。

横向连接

  • [[_concepts/pca-svd-the-same-thing]]
  • [[04-scRNAseq/umap-tsne-in-sc]]
  • [[04-scRNAseq/leiden-louvain-graph]]
  • [[08-ATAC/scatac-tfidf-lsi]]
  • [[15-multiomics-integration/mofa-variational]]

我现在的理解状态

#待 Peter 确认

参考

  • van der Maaten & Hinton (2008), Journal of Machine Learning Research
  • McInnes et al. (2018), arXiv
  • Kobak & Berens (2019), Nature Communications